Разложение на множители.
Одним из самых простых методов решения кубического уравнения является разложение левойчасти уравнения на множители. Именно этот способ решения является самым распространённым и выносится на ОГЭ. В этом методе выделяют два продолжения: метод группировки (более распространённый) и с помощью формул сокращённого умножения.
Алгоритрм решения:
1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член.
2. Найдите множители коэффициента "а" (коэффициент при x³) и свободного члена "d".
3. Разделите множители коэффициента "а" на множители свободного члена "d". Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.
4. Теперь вы можете найти целые решения вашего кубического уравнения, подставив в него целые числа из найденного ряда чисел. (Но если вы не хотите тратить время на это, воспользуйтесь делением по схеме Горнера. Такая схема подразумевает деление целых чисел на значения "а", "b", "с", "d" данного кубического уравнения. Если остаток равен 0, целое число является одним из решений кубического уравнения.)
Наиболее распространенным способом разложения на множители является метод группировки:
1.Разбиваем выражение на две скобки.
2.Выносим из каждой скобки общий множитель так, чтобы у нас получились одинаковые скобки.
3.Выносим эту скобку, как общий множитель.
4.Если после вынесения общего множителя из каждой скобки у нас не получились одинаковые скобки, то группируем другие слагаемые.
Уравнение решено.
На портале СДАМ ГИА:РЕШУ ОГЭ таким способом решаются уравнения Тип 20 № 338881; Тип 20 № 311589; Тип 20 № 311586; Тип 20 № 311594; Тип 20 № 311595 и многие другие.
Формула для решения квадратного уравнения
Данный способ решения кубических уранвнений связан с решением квадратного уравнения. Такой метод решения не используется на ОГЭ или используется очень редко.
Алгоритм решения:
1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член.Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид ax³ + bx² + cx + d = 0, где коэффициенты "b", "с" и "d" могут быть равны 0, то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть "d". Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения.
2. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную "х", которую можно вынести за скобки:x(ax²+ bx + c).
3. Обратите внимание, что уравнение в скобках – это квадратное уравнение вида ax² + bx + c, которое можно решить при помощи формулы ((-b +/-√ (b²- 4ac))/2a). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.
4. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические – три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите "х" за скобки, третье решение всегда равно 0. Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0, равно 0. Так как вы вынесли "х" за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя ("х" и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0, чтобы все уравнение равнялось 0.
Уравнение решено.
Графический метод решения.
Данный способ решения кубических уравнений используется не так часто, как разложение на множители или формула для квадратного уравнения. Он не выносится на ОГЭ, но также является довольно распространённым.
Алгоритм решения:
1. Сначала уравнение вида ax3+bx2+cx+d=0 надо преобразовать в два уравнения, путём перенесения одной части уранвения в правую сторону. Мы получим уравнение вида x3=bx2-cx-d.
2. Построим график левой части уравнения. y=x3- кубичсекая функция, график - кубичсекая парабола.
3. Построим график правой части y=bx2-cx-d. Если коэффициэнт b=0, то функция принимает вид y=cx-d - график прямая. Если отсутствует коэффициэнт c или d, то графиком функции становится парабола.
4. Найдем точку пересечения графика. Абсцисса точки пересечения будет решением уравнения.
Уравнение решено.
Кубические уравнения в курсе 5-9 классов.
Кубические уравнения встречаются уже в 5 классе. Например, x3=8.
Уравнения чуть более сложного типа встречаются в учебнике по алгебре А.Г.Мордковича для 7 класса. Например, в №19.19 представлено уравнение 2x3=-250. Или же в №37.19 приводится уравнение x3+2x2=0.
Кубические уравнения в старших классах.
В 10-11 классах решают полноценные кубические уравнения не только путём разложения на множители, но и графческим методом и методом деления на двучлен.
В учебнике по алгебре А.Г.Мерзляка для 10 класса в №51.1 приводится пример полного кубического уравнения - x3+9x2+23x+15=0.
Метод деления на двучлен.
Данный метод изучается в 10-11 классе. Суть заключается в подставление делителей свободного члена в уравнение.
1. Найдите свободный член (если он есть). В случае отсутствия свободного члена даннный метод использовать нельзя.
2. Определите делители свободного члена.
3. Начните по порядку подставлять делители в уравнение и проверяйте равенство на верность.
4. После нахождения первого корня разделите исходное уравнение на x-x1(первый корень).
5. Вы получите произведение двучлена на многочлен, которое равняется нулю. Если произведение равно нулю, то один из множителей равен нулю.
6. Решаем линейное и квадратное уравнения и получаем еще два корня уравнения.
Уравнение решено.
Решение через дискриминант.
Данный метод довольно сложен, так как включает в себя вычисление кубического корня и квадратного корня из отрицательного числа.
Алгоритм вычисления:
1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов "а", "b", "с", "d". Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.
2. Вычислите Δ0 = b² - 3ac.
3. Вычислите Δ1= 2b³ - 9abc + 27a²d.
4. Вычислите Δ = Δ1² - 4Δ0³) ÷ -27a². Теперь вычислите дискриминант уравнения при помощи найденных значений Δ0 и Δ1. Дискриминант – это число, дающее вам информацию о корнях многочлена. В случае кубического уравнения, если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение.
5. Вычислите C = 3√(√((Δ1²- 4Δ0³) + Δ1)/ 2). Эта величина позволит вам найти корни кубического уравнения.
6. Корни (решения) кубического уравнения вычисляются по формуле (b +unC + Δ0/(unC)) / 3a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно либо 1, либо 2, либо 3. Если подставить в эту формулу соответствующие значения величин, вы получите возможные решения данного вам кубического уравнения. Подставьте их в исходное уравнение и если равенство соблюдено, то решения правильные.
Уравнение решено.
Кубические уравнения в науке и технике.
Кубические уравнения применяются в разных областях науки, включая физику, математику, инженерию и компьютерные науки. Они помогает решать сложные задачи и моделировать реальные ситуации.
Инженерные расчёты.
Кубические уравнения широко применяются в инженерных расчетах. Они могут использоваться для решения задач, связанных с механикой, электротехникой и другими областями инженерии. Например, при проектировании мостов или зданий, где необходимо определить нагрузки и деформации, кубические уравнения могут быть полезными инструментами для получения точных ответов.
Поянение к изображению: изображение взято из документа.
Финансовая математика.
Кубические уравнения также находят применение в финансовой математике. Например, они могут быть использованы для решения задач по определению оптимальных инвестиций, расчету доходности или доли рыночной стоимости.
Пояснение к изображению: изображение взято с сайта.
Медицина и биология.
Кубические уравнения могут быть также полезны в медицине и биологии. Например, они могут использоваться для моделирования роста опухоли или изменений в организме с течением времени. Кроме того, кубические уравнения могут помочь в анализе данных и прогнозировании результатов медицинских исследований.
