Задача 1.
Архимед рассматривал задачу о делении шара плоскостью на два сегмента, объемы которых находятся в данном отношении (V1 : V2 = k). Эта задача сводится к решению кубического уравнения вида x3 + r = px2. Дело в том, что объем шарового сегмента (как это открыл тот же Архимед) является кубической функцией его высоты (да еще без линейного члена):
V = πH2 (R – H / 3).
Это довольно приятное обстоятельство: скажем, площадь кругового сектора зависит от его высоты существенно более сложным образом.
Архимед построил корень полученного кубического уравнения как координату точки пересечения параболы и гиперболы и произвел тщательный анализ задачи, приняв за x высоту одного из сегментов.
Рисунок к задаче. Задача Архимеда о делении шара в заданном направлении
Задача 2.
Арабские математики Средневековья продолжили изучение кубических уравнений, получая для них все новые способы решения с помощью пересечения надлежащим образом расположенных окружностей, гипербол и парабол. Таким способом решались сводимые к кубическим уравнениям задачи о трисекции угла, о построении правильных семиугольника и девятиугольника (что невозможно осуществить при помощи циркуля и линейки). В ряде случаев исследования кубических уравнений имели практическое приложение, например, для составления необходимых астрономам тригонометрических таблиц: так, вычисление sin 1° сводится к нахождению корня кубического уравнения вида x3 + r = qx.
Задача 3. Математик Ибн ал-Хайсам (Альхазен), автор получившей распространение в Европе «Книги оптики», рассмотрел задачу, сводящуюся к уравнению четвертой степени. Это была задача об определении места отражения точки в цилиндрическом зеркале. Ибн ал-Хайсам решил эту задачу с помощью пересечения гиперболы и окружности.
Рисунок к задаче. Задача об отражении в цилиндрическом зеркале
